Дмитрий (это я) пишет:
Привет, Леша!
Могу предложить тебе любопытную задачку из области теории вероятностей.
Придумал ее сам, а как решать - не знаю. Причем никогда не встречал похожей.
Если тебе интересно - можешь решить ее, написать статью и указать меня
соавтором.
Возможно, это и не новая задачка, и решить ее можно легко, но у меня
не получилось... Хоть я ж не математолог, вообще-то.
Алексей отвечает:
Да, давай!
Я тоже не математолог. И не математик.
А еще не физик и не физиолог.
Дмитрий:
Представь, что играешь в детскую игру, где, скажем, машинка движется
по клеточкам, в соответствии с количеством очков, выпадающих на кубике.
Кидаешь кубик, у которого на гранях нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность
выпадения каждого из этих чисел равна, конечно, 1/6.
На маршруте встречается определенная клетка (например, с ужасным несчастьем
- ВОЗВРАЩАЙТЕСЬ К НАЧАЛУ!). Какова вероятность, что машинка остановится
на этой клетке (ну, или что ты благополучно проедешь над ней без остановки)?
По-моему, это не так просто вычислить!
Можно сформулировать разные частные случаи этой проблемы. Какова вероятность,
если ты УЖЕ находишься на клетке, непосредственно предшествующей нашей
ОПАСНОЙ клетке? (наверное, я могу ответить - 1/6, что ты попадешь на опасную,
и 5/6 - что благополучно перепрыгнешь).
Если ты в двух клетках перед опасной - тоже несложно, но по мере удаления
- в трех... четырех... пяти клетках перед опасной?..
Можешь ли ты предложить общую формулу, где вероятность вычисляется как
функция расстояния от текущей клетки до опасной?
Что, если ты в семи клетках от опасной? Я подозреваю, что любая клетка
с номером (расстоянием) 7 и более (8, 9... до бесконечности, как бы отрицательной)
- должна давать одинаковое значение вероятности, но правильно ли это?..
Видимо, нет.
У меня есть интуитивное решение (для минус бесконечности, то есть если
машинка стартует очень издалека перед опасной ячейкой)... но опять же
я не уверен.
Что скажешь?
Студенты! в этом месте надо остановиться и подумать
:)
Алексей:
Для случая бесконечности вероятность равна 1/6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)
- правильно?
Дмитрий:
Не понимаю! Лучше объясни, я не уловил твою идею...
Алексей:
Не знаю, может быть, это и неверно.
Идея такая, что если бы у кубика на всех гранях было по единице, то движение
было бы по одной клетке, и искомая вероятность равнялась бы 1. Если бы
было по двойке - то 1/2, тройке - 1/3, и так далее. Поскольку наша игра
- это случайная равновзвешенная смесь этих альтернатив - надо учитывать
их поровну, появляется коэффициент 1/6.
Хотя у меня есть другая идея - подумаю над ней.
А что у тебя за интуитивное решение?
Дмитрий:
Да тоже смутное... как и твое.
Машинка движется над бесконечным рядом клеток. СКОРОСТЬ этого движения
с каждым ходом меняется (от 1 до 6). Однако, существует некая средняя
скорость - вероятно, равная 3.5 (среднее арифметическое между 1, 2, 3,
4, 5, 6). Поэтому, ты останавливаешься при каждом ходе на любой конкретной
ячейке с вероятностью 1/3.5 (или 2/7), и соответственно с вероятностью
1-2/7=5/7 благополучно проезжаешь над ней.
Между прочим, этот подход дает значение (2/7), не совпадающее с твоим
решением.
Возможно, неправильно использовать просто среднее (3.5) для расчета средней
скорости. А может, и правильно.
Студенты! тут надо остановиться и хорошо подумать!
:)
Алексей (на следующий день):
Задачка твоя действительно оказалась непростой.
Я не смог получить значение вероятности для конечного числа N, и склонен
думать, что у задачи нет решения в аналитическом виде. Конечно, могу попробовать
посчитать численными методами, но это было бы СЛИШКОМ ДОЛГО.
Проблема эквивалентна следующей:
Есть N отсеков, каждый емкостью в 5 шаров, то есть в каждый из отсеков
можно положить любое количество шаров от 0 до 5. Сколькими способами можно
распределить x шаров между отсеками, если N<x<5N ?
Я не знаю, как ее решать.
Если бы знал, получилось бы и аналитическое решение для твоей задачи.
Я уже почти решил, но... есть там один момент, с которым не знаю, как
поступить.
Что касается бесконечного случая - к счастью, на помощь приходит теорема
о центральном пределе, которая гласит, что сумма всякого долбаного распределения
стремится к нормальному, при условии соблюдения некоторых условий. Так
что в пределе, по-моему, вероятность можно аппроксимировать вот так:
Я посчитал в Mathlab'е предел для k=6000 и 12000, получилось 0.2882,
что очень близко к твоему значению 2/7=0.2857. Но черт его знает, как
доказать, что эта хрень действительно стремится к 2/7 (если это вообще
так).
К сожалению, у меня нет больше времени заниматься сейчас этой проблемой
- если придумаешь еще что-нибудь, дай знать. В любом случае, 0.2882 и
0.2857 слишком близки, чтобы это было просто совпадением, так что я думаю,
ты был прав! Круто!!!
Алексей
P.S. Ах, блин! Я получил 0.2882 только потому, что округлил вариацию (и
зачем я это сделал?). Я пересчитал с правильной вариацией, и получил ровно
0.2857 (2/7). Так что твой ответ был верным!
Поздравляю!
Дмитрий:
Я приятно потрясен твоим результатом.
Хоть я ничего не понял из распределений и формул, которые ты использовал,
одна вещь как-то кажется мне подозрительной - откуда взялся коэффициент
3.5 перед n?..
Алексей:
Число 3.5 - это среднее для одношагового распределения, а вариация равна
2.92 (которую я обозначил как сигма в квадрате). При увеличении N (числа
шагов) распределние суммы (насколько далеко уехала машинка после N бросков
кубика) стремится к нормальному со средним N*3.5 и вариацией N*2.95. Все,
что нужно сделать - это просуммировать все возможные N, которые могли
иметь результатом попадание на эту конкретную ячейку.
|
